流形上的微分学

流形的定义

• 定义:设 ,若对任意的 ,存在 在 中的开邻域 ,以及微分同胚 ,其中,使得 ,则称 是 中的一个 维光滑曲面,或 维子流形。我们简称之为流形。

流形的例子

• 本身、它的任何子空间以及它们的平移都是流形。
• 如果 是流形,则它的任何开子集(即 ,其中 是 中的开集)也是流形。
• 设 是 中的区域,则光滑函数 的图像是 中的流形。
• 是流形。
• 是流形。
• 不是流形。
• 不是流形。
• 不是流形。
• 不是流形。

如何判断一个点集是流形?

• 参数表示法:将 局部上视为 中某个开集到 的光滑函数的像;
• 方程表示法:将 局部上视为 中某个开集到 的光滑函数的零点集。

嵌入定理

• 定理:设 是 中的区域,是一个光滑函数。如果 满足如下三个条件:
  • 是单射
  • 对于任意的 ,有
  • 是从 到 的同胚 则 是 中的 维子流形。

正则值定理

• 定理:设 是 中的区域,是一个光滑函数,。若对任意的,则 是 中的 维流形。

例:超曲面

• 设 是 中的区域, 是一个光滑函数,。若对任意的 , 的梯度向量 都非零,则 是 中的 维流形。

例:正交群

• 设 是 阶实矩阵构成的 维欧氏空间,是 阶实对称矩阵构成的$ 维欧氏空间。映射 定义为

浸入、淹没、临界点、临界值、正则点、正则值、嵌入

设 是 中的区域,是一个光滑函数。 - 若对任意的 ,则称 是一个浸入(immersion) (单射，injective)。 - 若对任意的 ,则称 是一个淹没(submersion) (满射，surjective)。 - 若对于某个 ,有 ,则称 是 的一个临界点。 - 若 是 的一个临界点,则 称为 的一个临界值。 - 若 不是 的临界点,则称之为 的正则点。 - 若 不是 的临界值,则称之为 的正则值(正则值可以不在 上) 。根据正则值定理,如果一个正则值在 上,那么它的反像必是流形。 - 若 是单浸入,并且是 到 的同胚,则称 为嵌入(embedding) 。根据嵌入定理,嵌入的像必是流形。

切空间和法空间

流形的局部表示法

• 定义:设 ,若对任意的 ,存在 在 中的开邻域 ,以及微分同胚 ,使得 。设 中的坐标为, 的表达式为,则 ,即 M 在局部上总可表示为光滑函数的零点集。这种表示法称为流形的局部方程表示法。
• 设 的逆映射为 ,它的表达式为 。定义映射,则 可由如下参数方程给出 所以流形在局部上总可表达为光滑函数的像。这种表示法称为流形的局部参数表示法。

切空间

设 是流形 上的一个点,根据函数的光滑性,我们有 注意如果扔掉上式右端的小 项,那么它给出了 中的一个 维线性流形: 它叫做 在 处的切空间,记为 。 切空间 又可写为 这是切空间的方程表示法。 ### 切空间的基

为了比较好地应用线性代数的语言,我们引入 ˜ x = x − x0、˜t = t − t0,于是有

法空间和它的基

• 设 是流形 上的一个点, 在 处的切空间 是一个 维线性流形,它在 处的正交补是一个 维线性流形,我们称之为 在 处的法空间,记为 。
• 切空间的方程表示法可写为 所以 的梯度向量 总是与切空间 正交的。这些梯度向量是线性无关的 ,而它们正好有 个,所以它们构成了 的一组基。 # 条件极值

问题的提出

设 , 是 中的区域, 满足 非空,条件极值问题就是求 的极值 - 定义:设 ,若存在 在 中的开邻域 使得对于任意的 ,有 ,则称 是的一个局部极大点;若对任意 ,有 ,则称 是 的一个全局极大点。类似地,可定义局部极小点和全局极小点等概念。

参数法

例: - 考虑函数 在单位圆周 上的极值。设,则 ,不难求出 。 - 考虑函数 在圆周 上的极值。设,则 。经过一系列比较复杂的计算可得 的三个驻点 (不是极值点) 、(极小值点)和(极大值点) ,并且可以求出 的全局极小值 −1 和全局极大值。

Lagrange 乘子法

• 定理 (必要条件):设 同前, 是 中的 维流形,若 是 的局部极值点,则存在常数,使得 其中 是 在 附近的定义方程。
• 定理 (充分条件):条件同前,引入辅助函数 。设 是 的局部极值点,由之前的必要条件可知,存在使得 是 的一个驻点。设 是二次型 在切空间 上的限制,则
  • 若 是正定的,则 是 的局部极小值点。
  • 若 是负定的,则 是 的局部极大值点。
  • 若 有异号的特征值,则 不是 的极值点。
  • 若 半定,则无法判定,需要借助其它方法来判定 的类型。
• 步骤：
  • 写驻点
  • 写二阶导数，算各驻点的基，算二次型值
  • 判断驻点类型
  • 半定额外判断

例(一)

例(二)

例:矩阵的 2-范数